린델뢰프 공간

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

• 콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간
• 제2 가산 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

• 린델뢰프 가산콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• ('''모리타 정리''') 정칙 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[20][21]
• 제1 가산 공간인 위상군이 린델뢰프 공간이면 제2 가산 공간이다.^[20]
• 거리화 가능 공간의 경우, 린델뢰프 공간, 분해 가능 공간, 제2 가산 공간은 모두 동치인 개념이다.
• 린델뢰프 국소 콤팩트 공간은 반콤팩트 공간이다.
• 모든 콤팩트 공간과 더 일반적으로 모든 σ-콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다. 특히, 모든 가산 공간은 린델뢰프 공간이다.
• 린델뢰프 공간은 가산 콤팩트 공간일 때에만 콤팩트 공간이다.
• 모든 제2 가산 공간은 린델뢰프 공간이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 제2 가산 공간이 아닌 콤팩트 공간이 많이 있다.
• 거리 공간은 린델뢰프 공간일 필요충분조건은 분리 가능 공간이거나 제2 가산 공간인 것이다.
• 모든 정규 공간 린델뢰프 공간은 정규 공간이다.
• 모든 정규 공간 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• 위상 공간의 린델뢰프 부분 공간들의 가산 합집합은 린델뢰프 공간이다.
• 린델뢰프 공간의 임의의 부분 공간이 린델뢰프 공간일 필요는 없다.
• 린델뢰프 공간에서, 비어 있지 않은 부분 집합들의 모든 국소 유한족은 많아야 가산적이다.
• 공간이 유전적 린델뢰프 공간일 필요충분조건은 모든 열린 부분 공간이 린델뢰프 공간인 것이다.^[14]
• 유전적 린델뢰프 공간은 가산 합집합, 부분 공간, 연속적 이미지에 대해 닫혀 있다.
• 정규 린델뢰프 공간이 유전적 린델뢰프 공간일 필요충분조건은 완전 정규 공간인 것이다.^[15][16]
• 모든 제2 가산 공간은 유전적 린델뢰프 공간이다.
• 모든 가산 공간은 유전적 린델뢰프 공간이다.
• 모든 수슬린 공간은 유전적 린델뢰프 공간이다.
• 유전적 린델뢰프 공간의 모든 라돈 측도는 완화된다.

3. 1. 린델뢰프성을 보존하는 연산

• 린델뢰프 공간의 닫힌 집합은 린델뢰프 집합이다.^[20]
• 린델뢰프 공간의 연속적 상은 린델뢰프 공간이다. 즉, 린델뢰프 공간 $X$과 위상 공간 $Y$ 사이에 연속 함수 $f\backslash colon\; X\; \backslash to\; Y$가 존재한다면, $f$의 치역 $f(X)$는 린델뢰프 공간이다.^[20]
• 콤팩트 공간과 린델뢰프 공간의 곱공간은 린델뢰프 공간이다.^[20]
• 린델뢰프 공간에 대하여, 티호노프 정리가 성립하지 않는다. 즉, 린델뢰프 공간들의 곱공간이 항상 린델뢰프 공간이 되는 것은 아니다.
• 린델뢰프 공간의 모든 닫힌 부분 공간은 린델뢰프 공간이다. 따라서 린델뢰프 공간의 모든 F_σ 집합은 린델뢰프 공간이다.
• 린델뢰프 공간의 연속적인 상은 린델뢰프 공간이다.
• 린델뢰프 공간과 콤팩트 공간의 곱은 린델뢰프 공간이다.
• 린델뢰프 공간과 σ-콤팩트 공간의 곱은 린델뢰프 공간이다. (이는 이전 속성의 따름정리이다.)
• 두 린델뢰프 공간의 곱이 린델뢰프 공간일 필요는 없다. 예를 들어, 쇠르겐프레이 선 $S$는 린델뢰프 공간이지만, 쇠르겐프레이 평면 $S\; \backslash times\; S$는 린델뢰프 공간이 아니다.
• 린델뢰프 공간의 곱공간은 항상 린델뢰프일 필요는 없다.

4. 예

조르겐프라이 직선은 완전 정규 하우스도르프 린델뢰프 파라콤팩트 공간이지만, 조르겐프라이 직선의 스스로에 대한 곱공간인 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.^[1] 따라서 린델뢰프 공간에 대하여 티호노프 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다.

린델뢰프 공간의 곱공간은 항상 린델뢰프 공간인 것은 아니다. 실수 전체의 집합 '''R'''에 반열린구간 위상을 부여한 것(졸겐프라이 직선) 두 개의 곱으로 얻어지는 졸겐프라이 평면 '''S'''가 그 예시이다. 졸겐프라이 평면의 열린 집합은 왼쪽과 아래쪽 변을 포함하고 위쪽과 오른쪽 변을 포함하지 않는 반열린 직사각형(꼭짓점은 왼쪽 아래만 포함)의 유한 합으로 주어진다.

'''S'''의 열린 덮개로,

# ''x'' < ''y''인 점 (''x'', ''y'') 전체의 집합,

# ''x'' + 1 > ''y''인 점 (''x'', ''y'') 전체의 집합,

# 각 실수 ''x''에 대한 반열린 직사각형 [''x'', ''x'' + 2)×[−''x'',  −''x'' + 2)

를 생각할 수 있다. 여기서 주의할 점은 각 직사각형 [''x'', ''x'' + 2)×[−''x'',  −''x'' + 2)가 직선 ''x'' = − ''y'' 위의 점을 단 하나만 덮는다는 것이다. 이 직선 위의 점은 이 덮개의 다른 어떤 집합에도 포함되지 않으므로, 이 덮개의 진 부분 덮개는 존재하지 않으며, 이는 즉 이 덮개가 가산 부분 덮개를 갖지 않는다는 것을 의미한다.

졸겐프라이 평면 '''S'''가 린델뢰프가 아닌 것은, 직선 ''x'' = −''y''가 '''S'''의 닫힌 비가산 이산 부분 공간을 결정한다는 점에서도 알 수 있다. 이 부분 공간은 린델뢰프가 아니므로, 전체 공간도 린델뢰프가 아니다(린델뢰프 공간의 닫힌 부분 공간은 린델뢰프여야 한다).^[1]

하지만, 린델뢰프 공간과 콤팩트 공간의 곱은 린델뢰프 공간이다.

5. 일반화

위상 공간이 κ-콤팩트 또는 κ-린델뢰프라는 것은, 여기서 κ는 임의의 기수이며, 모든 열린 덮개가 κ보다 엄격하게 작은 기수를 갖는 부분 덮개를 가질 때를 말한다. 따라서 콤팩트 공간은 ℵ|0^영어-콤팩트이고 린델뢰프 공간은 ℵ|1^영어-콤팩트이다.^[19]

린델뢰프 차수 또는 린델뢰프 수 ''l''(''X'')는 위상 공간 ''X''의 모든 열린 덮개가 크기가 κ 이하인 부분 덮개를 갖도록 하는 가장 작은 기수 κ이다. 이 표기법에서 ''l''(''X'') = ℵ|0^영어이면 ''X''는 린델뢰프 공간이다. 위에서 정의된 린델뢰프 수는 콤팩트 공간과 린델뢰프 비콤팩트 공간을 구별하지 않는다. 일부 저자는 다른 개념에 "린델뢰프 수"라는 이름을 부여했다. 즉, 위상 공간 ''X''의 모든 열린 덮개가 κ보다 엄격하게 작은 크기의 부분 덮개를 갖도록 하는 가장 작은 기수 κ이다.^[17] 이 마지막 (그리고 덜 사용되는) 의미에서, 린델뢰프 수는 위상 공간 ''X''가 κ-콤팩트가 되도록 하는 가장 작은 기수 κ이다. 이 개념은 때때로 공간 ''X''의 콤팩트성 차수라고도 불린다.^[18]

6. 강 린델뢰프 공간

어떤 공간이 강 린델뢰프 공간이 될 필요충분조건은 모든 열린 부분 공간이 린델뢰프 공간인 것이다.^[14]

• 모든 제2 가산 공간은 강 린델뢰프 공간이다.
• 모든 수슬린 공간은 강 린델뢰프 공간이다.

7. 역사

핀란드의 수학자 에른스트 레오나르드 린델뢰프가 도입하였다.

참조

_[1] 문서 Steen & Seebach
_[2] 문서 Willard
_[3] 문서 Willard
_[4] 웹사이트 A note on strongly Lindelöf spaces https://www.math.tug[...]
_[5] 문서 Willard, theorem 16.9
_[6] 문서 Willard, theorem 16.11
_[7] 문서 Willard, theorem 16.8
_[8] 논문 A note on paracompact spaces 1953
_[9] 문서 Willard, theorem 16.6
_[10] 웹사이트 Examples of Lindelof Spaces that are not Hereditarily Lindelof https://dantopology.[...] 2012-04-15
_[11] 문서 Willard, theorem 16.6
_[12] 웹사이트 The Tube Lemma https://dantopology.[...] 2011-05-02
_[13] 웹사이트 A Note on the Sorgenfrey Line https://dantopology.[...] 2009-09-27
_[14] 문서 Engelking, 3.8.A(b)
_[15] 문서 Engelking, 3.8.A(c)
_[16] 웹사이트 General topology - Another question on hereditarily lindelöf space https://math.stackex[...]
_[17] 서적 Lectures on set theoretic topology https://books.google[...] Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society
_[18] 논문 The class of ''k''-compact spaces is simple
_[19] 서적 Lectures on set theoretic topology https://books.google[...] Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society
_[20] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[21] 저널 Star-finite coverings and the star-finite property 1948